そもそも誰が決めたのよ！ ４４０Ｈｚ http://www13.ocn.ne.jp/~ongaku1/onpu.html
オーケストラのチューニングはラの音を基準にします。４４０Ｈｚ？いや４４
２Ｈｚ楽団によってちがいますね。実はモーツアルの時代はもっとピッチが低
かったようです。でもそもそもラの音が４４０Ｈｚってだれが決めたのよ！
A=440 と決めたのはごく最近のことで、歴史的には300Hz代後半から400Hz代後半までかなり広いばらつきがあります。バロック時代にはA=415あたりでしたし、古典派の時代では430、近年のドイツでは460を超えるピッチで演奏されていたそうです。このようにあまりばらつきがあると、世界中に容易に行き来出来る現代には不都合となり、１の方が書いているようにA=440と定められたわけです。http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3925440.html
自然界の現象だと思いますか？とんでもない。ちゃんと人間が決めていま
す。文献によればパリ会議（１８５９年）とウイーン会議（１８８５年）によって
オクターブ４のラ（Ａ）の音を４３５Ｈｚとする決められたそうです。またシュトウ
ットガルト会議（１８３４年）では「ラ」の音を４４０Ｈｚとし、それが標準化され
ているそうです。（別の資料では１９３９年ロンドンで標準高度に関しての国
際会議がありそこで４４０Ｈｚと決められたと、ある）
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じゃ、その音階って誰が初めに作ったんだろう。
http://www.addest-jp.com/pa-mailmagazine-bn10.html
答えはなんと、ピタゴラス。三角形でおなじみ“ピタゴラスの定理”のあのピ
タゴラスなんだ。古代ギリシャ時代、ピタゴラスは弦楽器で弦の長さを半分に
すると１オクターブ上がり、３分の２の長さだと５度上がった音、ソになるこ
とを発見したとのこと。そしてそのドとソの周波数が２：３であるのを基準に、
ドとファが３:４、ドとレが８：９と整数比になるように音階を作っていった
のだとさ。だから、例えば1オクターブ高いドと低いドや、ドとソなどの和音
が調和して聞こえるのは、音同士の周波数の比がきれいな整数比になってるか
らなんだ。そしてこの音階は“ピタゴラス音階”と呼ばれている。
でもね、現在みんなが使ってる音階とは少し違うんだ。現代の音階は“平均律
音階”と言って、”ピタゴラス音階”を音合わせや転調に便利なように、数学
的に１オクターブを１２等分して現代版に改良されたものなんだって。どうや
って１２等分されてるかっていうとー、ここから少し難しくなるよ。
平均律音階は、ドの音の周波数に対してすべての音が「２」の１２分のN乗（
Nに１〜１２が入る）の周波数になるように作られている。だから、レならド
に対して２の１２分の２乗倍の周波数となり、１オクターブまで上がると、２
の１２分の１２乗倍になるから、つまりもとのドの２倍の周波数ってことにな
る。ドの周波数を基準に、ほかの音の周波数を２の１２分の１から１２分の１
２乗倍にして、１オクターブ内の１２の音に周波数を振り分けているんだ。
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音階のヘルツはどうやって決めたのですか？
1. 適当な長さの木箱を作り、片方のみ解放します。
2. 木箱の上に、釘を2本、打ちます。出来るだけ長くする。
3. そこにゴムを張ります。十分に、響く音が出来るよう、ひっぱっておく。
★ 全体の長さで爪弾く。この音の名を仮に、「ド」とします。
駒を用意して、正確に、8/9 の長さで弾く。 これが「レ」です。
4／5 の 位置 「ミ」、後は、3/4 「ファ」、2/3 「ソ」、
3/5 「ラ」、8/15 「シ」、1/2 「オクターブの「ド」。
これが、ピタゴラスを改良した、純正律の、弦の位置です。
この逆数が、音程となります。
★ ド、 レ♭、レ、レ#、ミ、ファ、ファ#、ソ、ソ#、ラ、シ♭、シ、ド
1、1.059、1.122、1.189、1.259、1.335、1.414、1.498、1.587、1.682、1.782、1.888、2
「ド」 の基準周波数は、 440/1.682*2 で、見つけることが出来ます。
おおよそですが、523.187Hz
ですか?
[音階と周波数] http://panna.dyndns.org/etc/onritu.html
ちょっとしたきっかけで、音階と周波数の関係を調べてみました。JBL の PA用スピーカー JRX115 を改造して低音の音圧テストを行うため、周波数毎の WAVファイルを作成したのですが、音階毎の正しい周波数で WAVファイルを作成するには、音階と周波数の関係を知る必要がありました。
そこでいつものようにインターネットで調べてみると、意外にも同じ 7音階でもいろいろな音律があって、音律が違えば対応する周波数が異なることを知りました。音楽理論に詳しい方には当り前のことなのでしょうが、日頃聴いている音楽がとても複雑で微妙な音をコントロールして演奏されているものと知り、驚いています。
ということで、ちょっと勉強したことを紹介することにしました。とはいえ、素人の浅知恵、とんでもない間違いを書くかもしれませんので、間違いがあったら御指摘をお願いします。
音律と音階
音律とは、音階と音程を決める方法のことですが、7音階(半音で言えば12音階)の代表的なものとして、平均律、純正律、ピタゴラス音律があります。各々の音律を説明する前に、前提になる7音階での音程の概念を説明します。ド〜ソの音程は全音3つと半音1つですが、これを完全5度といいます。ソ〜ドは全音2つと半音1つで完全4度といいます。完全5度と完全4度を合わせるとちょうど1オクターブになり、その周波数比はちょうど 2倍になります。次にド〜ソの間の音程ですが、ド〜ミは全音2つでこれを長3度、ミ〜ソは全音1つと半音1つでこれを短3度といいます。
ピタゴラス音律
音律の中で、一番古いのがピタゴラス音律です。ピタゴラスは、直角三角形のピタゴラスの定理(長辺の2乗＝他の辺の2乗の和)でだれでも知っている古代ギリシャの数学者です。三角形の辺の長さが 3：4：5 になっていると、これは直角三角形ですが、これに似て、音程を周波数の単純な整数比で決めるのが、ピタゴラス音律です。ド〜ソ(完全5度)の場合ドとソの周波数比が 2：3、ソ〜ド(完全4度)の場合ソとドの周波数比が 3：4 になります。ピタゴラスの時代では周波数という概念はなかったでしょうから、本当は音を出す弦の長さの比(周波数の比の逆)で決めたのでしょう。完全5度も完全4度もこの周波数比にすると2つの音が綺麗に協和するという音律です。
では次に、レ、ミ、ファ、ラ、シの周波数の決め方です。レ〜ソは完全4度です。したがって、レとソの周波数比は 3：4、これでレの周波数がきまります。今度はレ〜ラ、完全5度ですからレとラの周波数比は 2：3、これを繰り返せばシ、ミ、ファも決まります。
実はピタゴラス音律は、バイオリンの調弦法そのものなのですね。後で説明しますが国際高度というのがあって、A(ラ)4 に相当する周波数は、440Hzと決められています(演奏家や楽団によって実際は微調整があるようですが)。まずA線を音叉などを使って 440Hzに合わせます。次に下のD線(レ)はA線と協和するように調整されます。ついでD線とG線(下のソ)、A線とE線(上のミ)も同様に協和するように調整されます。隣り合う弦はいずれも完全5度の音程なので、まがいもなくピタゴラス音律ということになります。
計算の結果を次の表に示しました。分数比は、C(ド)4 を 1 として周波数比を分数で示しています。計算法はその計算の根拠、少数比は分数比を少数に変換したもの、基準比は A(ラ)4 を 1 として周波数比を再計算した結果、Hz は基準比に 440 を掛けた値です。
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表1. ピタゴラス音律の音階と周波数 |
ピタゴラス音律は実にスマートなのですが、弱点があります。それは、ド〜ミとかミ〜ソのような3度音程の協和を配慮していない、つまり3度音程の和音は美しくないという点です。ピタゴラスの時代は単音音楽だったので、その必要がなかったというのが定説のようですね。
では現在のバイオリン奏者の方は、バイオリンソナタの美しい和音をどうやって演奏しているのでしょうか。ふむー、私もそこまでは判りません。バイオリンはフレットのない楽器ですから音程の調整は融通無碍、調弦はピタゴラス音律であっても和音のとりかたはいくらでも調整できるのでしょう。しかし確かな耳と技量がなければできないことでしょうから、あらためて演奏家の隠れた努力に敬服するしだいです。
純正律
ハ長調の主要和音は、ド・ミ・ソ、ファ・ラ・ド、ソ・シ・レ、イ短調の主要和音はラ・ド・ミ、レ・ファ・ラ、ミ・ソ・シ、ですが、純正律では、これらの和音が一番協和するように音程を決める方法です。ド〜ミのような長3度の音程の周波数比を 4：5、ミ〜ソのような短3度の音程の周波数比を 5：6 にするのが基本です。ハ長調のド〜ミ〜ソは、4：5：6 の周波数比になります。一方、イ短調ではどうでしょう。ラ〜ドは短3度ですから 5：6、ド〜ミは長3度ですから 4：5、したがってラ〜ド〜ミは 10：12：15 の周波数比になります。
ではその他の音はどうでしょうか、ハ長調でやってみましょう。まずド、ミ、ソが決まったので、ソを基準にソ〜シ〜レ(上のレ)が決まります。上のドは下のドの2倍ですからこれを基準にファ〜ラ〜ドが決まります。下のレは上のレの半分ですからこれも決まります。
次はイ短調です。まずラ〜ド〜ミが決まります。ついでミを基準にミ〜ソ〜シが決まります。上のラは下のラの2倍、上のラを基準にレ〜ファ〜ラが決まります。これで全部きまりました。
ふむー、ほんとにエレガントですね。だれがいつ頃、こんな音律を考えだしたのでしょうか。残念ながら調べた範囲では判りませんでした。きっと音律の専門書などには書かれているのでしょうね。
ところでこの純正律、一見するとすごくエレガントで和音の演奏には優れているのですが、大きな欠陥を含んでいます。それは、次の表を見て頂ければ判るのですが、ハ長調とイ短調でレの周波数比が違ってくるのです。ハ長調はソ・シ・レの和音、イ短調はレ・ファ・ラの和音を元にレの周波数比が決まっていますが、そのレの周波数比が異なってしまうのです。と言うことは、ハ長調ではレ・ファ・ラの和音は汚くなってしまいます。さらに困ったことは、ハ長調からイ短調に転調すると、レの音が異なるのでイ短調のレ・ファ・ラが汚くなってしまいます。
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表2. 純正律の音階と周波数 |
純正律は、ピタゴラス音律の欠陥である和音の問題を克服する方法だったのに、なんとも残念な結果です。純正律とピタゴラス音律を元にいろいろ改良した音律もあるようですが、専門的すぎるのでこれ以上追求するのはやめておきます。。。ところで、次に説明する平均律も美しい和音を作るには不完全ですし、そうするとバイオリン奏者はいったい何を基準に音程を決めればいいのでしょうか。本当に人ごとながら心安からぬ思いがします。
平均律
ピタゴラス音律にしても、純正律にしても、考え方には共通性があります。それは、音程を周波数の等比(分数比)数列として扱おうとしていることです。ただし、完全な等比数列ではなく、部分的な等比数列として扱っているのが特徴です。もともと、周波数2倍を1オクターブとしているわけですから、これを数式で表すと
音程(オクターブ)＝LOG2(周波数比)
になっています。この考え方をすべての音階に当てはめて、全ての音階の音程は周波数の等比数列になると仮定したら、どうなるでしょう。1オクターブは半音12コでできているわけですから、半音の周波数比＝2の1/12乗 となるはずです。2の1/12乗を 12回掛けると 2 になりますから、ちょうど1オクターブですね。半音1コの音程を数式で表すと
半音の音程(オクターブ)＝LOG2(2の1/12乗)
ということになります。LOG2(2の1/12乗)は、1/12*LOG2(2) ですから、なんのことはない 1/12 ですね。つまり、半音は 1/12オクターブ、周波数比は 1：2の1/12乗ということになります。これが平均律と言われる音程の決め方です。
計算結果を下の表に示しました。
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表3. 平均律の音階と周波数 |
上の表で「セント」という聞き慣れない用語が出ています。意味は 1/100 を表しています。お金の 1セント が 1ドルの 1/100 というのと同じです。注釈(*) に書いている通り、1セントは、平均律で半音の 1/100 の音程を意味しているので、微小な音程を表すのに適しているわけです。後の表では、平均律、純正律、ピタゴラス音律の差をセント値で示しています。
どうも音に関して言えば、音の大きさ(音圧)にしても音の高さにしても、物理量(音圧の場合はエネルギー量、音の高さでは周波数)に対して、人間は対数的に感じるようにできているようです。2つの音の大きさの差はデシベル(dB)で表されますが、エネルギーが 2倍だと 3dBの差ですから、
音圧差(dB)＝3*LOG2(音のエネルギー比)
です。これって、音程(オクターブ)＝LOG2(周波数比)とすごく似ていますよね。ふむー、我ながらすごい発見????
平均律で決めた音階では、音程は均一です。半音の音程は 1/12オクターブ、全音の音程は 2/12オクターブ、長3度は 4/12オクターブ、短3度は 3/12オクターブ、完全5度は 7/12オクターブ、完全4度は
5/12オクターブです。したがって、純正律のように転調で音程が狂う心配もないのでどんな曲の演奏にも音程の修正は必要ありません。というか、演奏中に音程の修正ができない楽器には、これしかないのです。だからピアノは平均律なんですね。そして、ピアノは平均律の長所を採ったが故に、最高に美しい和音の響きはあきらめたのですね。
次の表は、0オクターブから 9オクターブまで、平均律による全音階の周波数を示しました。何かの時に役に立つでしょう。
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表4. 平均律の音階と周波数(全域) |
国際高度では、A(ラ)4 440Hz と決められていますが、ホールや楽団により、標準に使う周波数は違うようです。楽典No.2 国際高度と演奏高度 音叉 譜表 音部記号 加線 譜表の連合 によると、カーネギーホールのスタインウェイは 442Hz、ベルリンフィルやウィーンフィルは 445〜446Hz、NHK は 442Hz、だそうです。ふむー、やっぱり音には絶対基準があるようで、ないのですね。絶対基準は、演奏家の耳とその心にあるのかもしれません。
音律による音階の周波数比較
前出の平均律、純正律、ピタゴラス音律の各音階の周波数を比較表にしてみました。ついでに、平均律に対する純正律、ピタゴラス音律の周波数のズレをセント値で表しています。
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表5. 音律による音階の周波数比較 |
わずか 5〜6セントの違いが音の協和に影響するのですね。そういえば、ピアノの調律はどうするのでしょうか。平均律では完全5度も長3度も短3度も、どれも協和しません。440Hzの音叉で A(ラ)4 の音を合わせたとして、他の音はどうして合わせるのか。実は、やっぱり完全5度の協和音を使うのだそうです。完全5度の協和音で合わせておいて、数セントわざとずらすのだそうです。協和音から数セントずれると唸りが生じるのですが、その唸り具合で何セントずれたかが判るというのです。ほんと、バイオリン演奏家もすごいですが、ピアノの調律師もそれに劣らずすごいですね。
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音階について考えるhttp://www25.tok2.com/home2/BACHBAKKA3/sub63.htm
私が音のことについて考えはじめたのは、ドとオクターブ高いドは同じ音に聴こえるのはなぜ？
和音はなぜきれいにきこえるの？音階に半音の箇所があるのはなぜ？こういった素朴な疑問からでした。
これらの疑問を解決すべく、今回は音楽を構成する音についていろいろと調べてみました。
多少マニアックな内容ですが、興味のある方、お読み願います。
Ｑ１：音階の根拠は何でしょう
１．音を発すると倍音が生まれます
有る音を発生させると、響きとして、周波数（注）比の2倍音、３倍音、4倍音．．．が生じる。
これは自然倍音列といい、以下の性質を持っている。
２倍音 基音に対して、まずオクターブ上の音
３倍音 その２倍音に対して５度上の音
４倍音 その３倍音に対して４度上の音
５倍音 その４倍音に対して長３度上の音
注：周波数
音は空気の振動により発生する。周波数というのは、単位時間（１秒間）あたりの空気の振動
回数で、その数が大きい程、高い音として認識される。(HLZ）で表される。
例で最初のドの周波数が200HLZとしたら、オクターブ高いドは倍の400HLZということになる。
この様に自然倍音列は西洋音階列をなしており、音楽として私たちが用いている音程の間隔は適当に決められたものではなく、自然倍音列を根拠にしているものといえる。
Ｑ２：ドレミファソラシド．．．なぜまたドに戻るの？
１．人の聴覚が認識するオクターブ現象
ある音から音階をあげていくと音は高くなるという認識があるが、ある点に達すると、再び最初の音の特性を認識することができる。これを聴覚におけるオクターブ現象といい、ドの音からはじめたら、１ オクターブ高いドががそれにあたる。そしてその周波数比はもっとも単純な１：２となっている。
オクターブ毎に音階の繰り返しがあることが音楽の特徴であるが、人間のオクターブ認識の特性に根づいたものということができる。
Ｑ３：ドレミファソラシドの音階はどのようにして生まれたの？
１．以下の単純な周波数比の音は、共鳴します。
１：２（前述のオクターブ）
２：３（５度の音：ドとソ ファとドの関係）
３：４（４度の音：ドとファの関係）
これにより、ド、ファ、ソ、ドも音を得ることができます
また、ファとソの関係は全音１音分でありその周波数比
（８：９）が１音分を表します
２．前述自然倍音列の数比関係より
４：５（長３度の音：ドとミの関係）
５：６（短３度の音：レとファ ラとドの関係）
８：９（長２度の音：ドとレの関係 上述のファとソの関係と同一）
半音 ファとミの差分
図で表すと以下の通りとなります。（古代音程理論の数比）
３．ピタゴラスの５度重積
ドとソの関係（５度）はドとオクターブのドに次ぐ近親関係にある。（周波数比 ２：３）
この５度の音からまた５度離れた音をとることを５度重積という。これにより、
５度づつ上に音をとってみると ド、ソ、レ、ラ、ミ、シ （音を上げてオクターブの
範囲を超えると、１オクターブ下げ、音をとる
５度づつ下に音をとってみると ド、ファ
並べかえるとドレミファソラシドになる。(全音階的７音音階）
ここでは音階の成り立ちの理論のみをのべ、この音階から
現在使われている平均律音階の考え方には言及しない。
Ｑ４：なぜミとファ、シとドの間は半音なの
長音階を見てみると １音、１音、１音、半音の類似パターンが２つあることが分かる
ドレミファ と ソラシド であり、この塊をテトラコルドと言っている。
ドの音は、曲の頭、終止を表す基音であり、ファの音も曲の中盤部の盛り上がりの箇所
の曲の頭になる。（目的音という）、その目的を達成するために、その音を道びくため
の音が必要であり（導音という）、目的音への移行は導音から半音で達成される。
そのため、ミとファ、シとドの間は半音となっている。
Ｑ５：なぜ長調の曲は明るく聞こえ、短調の曲は暗く聞こえるの
ハ長調の３和音とハ短調の３和音を出してみよう。ともに曲を
はじめるにあたり最初の和音とする。（最初の和音で曲のイメージは決まります）
3度の音（例ではミ）の音は性格音と言われ、それを長３度（ミ）でとるか、短３度（ミフラット）
でとるかにより、人はその音を明るい音か、暗い音かを判断しているといわれています。
よって前者のコード進行を軸とする長調に曲は明るく聞こえ、他方は暗く聴こえるということができます。
Ｑ６：ハ長調、ニ長調などの調性は何を根拠にして決まるのでしょうか。
同じ曲のイントロをハ長調、ヘ長調、ト長調で弾いてみましょう。
人間の聴覚特性として、
高い音は、明るい、鋭い、イメージを感受し、低い音は、暗い、落ち着いている
といったイメージを感受します。
高すぎると、音が鋭すぎて不快となり、低すぎると、音の輪郭がぼやけてしまいます。
それらの兼ね合いから、最も適当な調を選んでいるということができます。
参考：調性格論
１７１７年マッテゾン著の「新設のオーケストラ」には、各調による音楽のイメージが記されており
当時の音楽が、曲のイメージを表現するために調性を選択していたことがわかります。
以下はその中の抜粋です。
ハ長調：かなり粗野で大胆な性質ではあるが、お祭り騒ぎや喜ばしい時には有効である。
ト長調：人を惹きつけるような、雄弁な性格が強いが、輝くばかりでもある、快活なものにもまた真面目なものにも向いている。
ニ長調：いくぶん激しく頑固な性質を持ち、騒ぎや、快活で好戦的かつ鼓舞するようなものに最適である。
イ長調：輝かしいものであるにもかかわらず、大変攻撃的で、また気晴らしよりも嘆くような、悲しい情緒に向いている
ホ長調：絶望に満ちた、あるいは全く死ぬほどの悲しみを比類なくよく表現する。全く途方にくれ、希望のない恋愛上の事態に最も適している。
ドとオクターブ高いド（同じ音と認識される）
参考文献
図解：音楽辞典（白水社）
音楽史１７の視座（音楽之友社）
名曲が語る音楽史（音楽之友社）
心地よい和音 （倍音のしくみ）
周波数の異なる2つ以上の音を，同時に鳴らした時の音を和音といいます。同時に鳴らす音の組み合わせによって，様々な響きが作られます。その響きが心地よいものを協和音，不快なものを不協和音といいます。
では，なぜ協和音や不協和音が生じるのでしょう。実は，これには倍音の“一致”や“ずれ”が関係しています。
２つの音の周波数がわずかに異なるとき，うなりが生じます。ところがその周波数の違いがある程度以上になると，うなりとしては認識されにくくなり，しだいになめらかな響きとなります。
たとえば，一般的なドミソの和音についてみてみましょう。この３音の周波数の比はド：ミ：ソ＝４：５：６（純正律の場合）となっています。ここで，それぞれの倍数に注目してみます。
このように，それぞれの音の倍音の周波数がぴったり一致するために（ここでは12，20，24，30・・・），純粋で心地よい響きとなります。
※現在の調律で一般的なのは平均律（１オクターブを均等に割ったもの）であり，周波数比はド：ミ：ソ＝4.00：5.04：5.99となっているので，完全な協和音とはいえません。
倍音の周波数が一致するか、しっかり別の音と判別できる程度に離れていると、心地よく響く。