ベイジアン（Bayesian Network）ネット 2007.5.29 furuya
確率のネットあるいは、風が吹けば桶屋が儲かる？
１、
確率の復習
標本空間 Ω： 起こりうる全ての集合。
事象 A ：標本空間の部分集合。
確率 P(A)： Aの起こる確率。
例１：さいころ
Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝
P({1})=P({2})=・・・ =P({6})= 1/6
例２：天気
Ω＝｛晴、曇、雨｝
P(晴)=0.6、P(曇)＝0.3、 P(雨)＝0.1
２、条件付確率
事象Ａが起こっている時、事象Ｂが起こる確率、を条件付確率と言う
確率の積の公式
３、ベイズの法則
積の公式より、
この２式より
両辺を
で割って、
（この関係式をベイズの法則と言う）
この式から、事前確率２つ（P(A),P(B)）と条件付確率１つ（P(A|B)）から、条件付確率１つ（P(B|A)）を求められることが分かる。
４、べイジアンネット
２つの事象Ａ，Ｂに、次のような確率があったとする。
例えば、Ａは晴、Ｂは風、と考えれば、晴に風が吹く確率は0.1、晴ていないとき風が吹く確率は0.4って感じ。
この関係を、図で表したのがベイジアンネットである。
右の表は、左図の矢印に沿った関係を示している。が、ベイズの公式を使うと矢印を遡る関係（P(B)やP(A|B)）を求めることができる。
５、もう少し複雑な例
熱、咳、風邪の関係をベイズネットで表現
Ａ：熱がある、
Ｂ：咳が出る、
Ｃ：風邪、
P(A)=0.2
P(B)=0.1
右の表は、矢印に沿った関係を示している。
ベイズの公式を使うと矢印を遡れる。
Cが真の時Ａが真の確率
６．ベイズの分類
ベイズの法則の｜の右側をｘのベクトル
と見ると式10が出る、
式11は、図の矢印に沿った方向なので、ベイズネットの確率の表から計算できる（左辺の意味を考えれば分かる）。
式10の右辺の分母は、特定のメール
が来る確率。特定のメールとは、
”click”と”I”があるメールはx1=’1’,x2=’1’、
”click”があって”I”がないメールはx1=’1’,x2=’0’、
”click”がなくて”I”があるメールはx1=’0’,x2=’1’、
”click”も”I”もないメールはx1=’0’,x2=’0’、
=ｃ1が起こる確率＊ｃ1が起こったとき特定の
（例えばx1=1,x2=0）が起こる確率
+ｃ2が起こる確率＊ｃ1が起こったとき特定の
（例えばx1=1,x2=0）が起こる確率
+…
+ｃkが起こる確率＊ｃ1が起こったとき特定の
（例えばx1=1,x2=0）が起こる確率
となる。
この右辺の各項は、ベイズネットの確率表から求めることができる。
でも、これ（右辺の各項）って式10の分子と同じ。
それでは、ってことで、麻疹、百日咳、風疹、の例で考えると。
“熱あり”“咳なし”“発疹なし”の場合、
P(x1=1,x2=0,x3=0)
＝P(麻疹)＊P(x1=1,x2=0,x3=0|麻疹)
＋P(百日)＊P(x1=1,x2=0,x3=0|百日)
＋P(風疹)＊P(x1=1,x2=0,x3=0|風疹)
＝P(麻疹)＊P(x1=1|麻疹)＊P(x2=0|麻疹)＊P(x3=0|麻疹)
＋．．．
＋．．．
って具合。
例：スパムメール発見
メール全体の内、spam
メールの割合は0.1と
仮定すると。
メールが来て”click”と”I”が入って
いる確率は、
このような計算を、goodメールに対しても行い、確率の高い方を選ぶ。
EXCELで人工知能
以下の病気が発症する確率は、はしか0.2、百日咳0.1、風疹0.15とする。
熱があり、咳がなく、発疹がない時の各病気の確率をEXCELで求めよう。
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付録： 式２の導出
（１） 確認： 式２以降に出てくるP(C|A,B)は、AとBのANDが成り立った時Cが起こる確率を表す。分かりやすく書くとP(C|(A∩B))となる。以下ではP(C|A∩B)と書く。
（２） 準備１： 式１の確認
ベイズの法則で上のようになる。この最右辺を図１に照らし合わせれば納得できると思う。
（３） 準備２： P(B∩C∩A)の変換
A∩Bを組にして考えてベイズの法則を適用すると、
P(B∩C∩A)= P(A∩B)・P(C|A∩B)‥‥（式４）
この右辺のP(A∩B)をベイスの法則で展開すると、P(A∩B)=P(B)・P(A|B)なので、（式４）は、
P(B∩C∩A)= P(B)・P(A|B)・P(C|A∩B) ‥‥（式５）
となる。
（４） これより本番
式３のアナロジーで、
ＡとＢは独立なので、
は、いずれもP(A)となる。
式６をさらに整理すると。
となる。この右の２辺の両辺をP(A)で割ると、式２がでてくる。
